O Java é um programa que permite rodar algumas coisas feitas pra ele. Hoje em dia poucos sites usam, normalmente sites de banco e alguns programas específicos, como os da Receita Federal. Com o Java é possível para os programadores criarem coisas que rodam em todos os principais sistemas operacionais sem precisar de alterações, como Linux, Windows e Mac. Basta que cada plataforma tenha o java compilado para a sua arquitetura e sistema.

Baixe o Java no site oficial: www.java.com

Depois de instalar pode ser necessário reiniciar o navegador para poder funcionar.

Vale a pena ficar esperto quando algum site estranho pedir para acessar algum recurso em Java. Com o Java os sites podem ter acesso aos arquivos do computador, abrindo uma eventual brecha se o site for malicioso. Só use em sites confiáveis. Quando um site precisa do Java geralmente aparece um aviso perguntando se você quer ou não aceitar, com essa aparência (que pode variar um pouco dependendo do seu sistema):

Se você clicar em Cancelar, obviamente, o acesso ao site será negado e ele poderá não funcionar.